Метод характеристических функций в оценивании математического ожидания случайных величин с бесконечной дисперсией

Лаппа А.В., Бахвалов Е.В., Аникина А.С.

Известия Челябинского научного центра. Челябинск, 2004. Выпуск 2. С. 1-6.

Работа посвящена статистическому оцениванию математического ожидания случайных величин с бесконечной дисперсией, функция распределения которых имеет степенную асимптотику или мажорируется ею. Такая задача возникает во многих приложениях, в частности, при решении уравнения переноса излучения, так называемыми, локальными методами Монте-Карло.
Стандартной оценкой математического ожидания в непараметрической статистике является выборочное среднее, которое в отсутствии дисперсии обладает серьезными недостатками (пониженной скоростью сходимости, повышенной вероятностью выбросов и др.), существенно затрудняющими его практическое использование.
Идея предлагаемого подхода заключается в использовании асимптотических связей между математическим ожиданием и характеристической функцией, вытекающих из заданной асимптотики функции распределения. В статье сначала устанавливаются такие связи, и затем строятся две оценки для двух типов асимптотик.
Построенные оценки свободны от недостатков выборочного среднего. Они обладают конечной дисперсией и нормальным предельным распределением и, как следствие, имеют нормальную скорость сходимости, устойчивую по отношению к выбросам, к ним применим стандартный способ оценивания статистической погрешности. Оценки просты в реализации.
В отличие от выборочного среднего новые оценки зависят от свободного параметра t и являются смещенными. Но смещение обеих оценок неограниченно убывает при t->0, что делает их интересными с практической точки зрения.